Η τύχη του πρωτάρη μαθητή, η γνώση των έμπειρων καθηγητών - Το θεώρημα ροπής αδράνειας του τυχερού μαθητή.

… Έλεγε μαθητής στον καθηγητή μας των μαθηματικών: Κύριε καθηγητά, ξέρω και μια άλλη λύση αυτού του προβλήματος.
Απάντηση: Άντε, μωρέ, μάθε τη λύση που έχει το βιβλίο κι άσε τις εφευρέσεις. Σου ‘πνιγε κάθε πρωτοβουλία…

Πολύ φασαρία, δικαιολογημένα λόγω της αναπάντεχης μαθητικής λύσης στο 4ο θέμα της Φυσικής. Προσωπικά, λόγω των Ευαγγελικών καταβολών μου από το Φροντιστήριο του Αχιλλέα Ευαγγέλου που πήγαινα σαν μαθητής, των διδαχών του Αλεξόπουλου, μου ήταν και μου είναι αδιανόητο να λύσω μια άσκηση μηχανικής με τεχνάσματα που δεν είναι σίγουρο που θα οδηγήσουν.
Το ίδιο εφάρμοσα και σαν καθηγητής στην τάξη για 20 χρόνια, όσο ήμουν σε τάξη και επί του πίνακος.
Λύσεις με ισοδύναμες μάζες είχαν κάτι παραπάνω από … απαγορευτικό απόπλου.
Η γραμμή πορείας ήταν καθορισμένη αυστηρά, σαν γραμμή τρένου:
Για κάθε σώμα σχολαστικά οι δυνάμεις που εξασκούνται, εξίσωση δυναμικής για κάθε σώμα χωριστά, ή άθροιση των εξισώσεων μετά, η χαρά της διαγραφής των ενδιάμεσων δυνάμεων και το αποτέλεσμα για την επιτάχυσνη, πάντα σε πλαίσιο, για να διευκολύνεται ο διορθωτής υποθέτω.
Έλα όμως που κατά καιρούς όλο κάτι ακούγονταν για λύσεις που δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, για όσους π.χ. βαριούνται να σχεδιάσουν, να γράψουν τόσες εξισώσεις.
Πιθανόν να υπήρχε σε διάφορα βιβλία, σαν εναλλακτική σύντομη λύση.
Συγκέντρωσα μερικές ασκήσεις μηχανικής στις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της κίνησης των σωμάτων εφαρμόζοντας τη μέθοδο της συνολικής μάζας του συστήματος και της συνιστάμενης εξωτερικής δύναμης, μια μέθοδο σχετικά γνωστή νομίζω, άσχετα αν τη διδάσκαμε ή αν την εφαρμόζαμε.
Είναι θάλεγα η κατασταλαγμένη γνώση και εμπειρία για έναν ειδικό να πει, να προβλέψει πρώτος τη λύση με μιά ματιά, και άσε τα μαθητούδια να τη βρουν αναλυτικά.


Και ενώ όλες οι προτεινόμενες λύσεις ήταν σχεδόν πανομοιότυπες, ξαφνικά στο ιστολόγιο του κ. Διονύση Μάργαρη σκάει η ... βόμβα, η ερώτηση μαθητή:

Να ρωτήσω κάτι: Εγώ στο 4ο θέμα βρήκα την επιτάχυνση ως εξής:
Στ=Ι.αγ. Πήρα όλο το σύστημα των σωμάτων σαν ένα. Άρα: F.2R-mg.R=(MR^2+mR^2).αγ. Και μετά βρήκα την αcm=αγ.R. Βγήκε αcm=1 m/s^2. Κάποιοι καθηγητές μου είπαν οτι είναι λάθος τρόπος. Γιατί όμως βγαίνει σωστό αποτέλεσμα; Θα το κόψουν όλο;

Και ακολούθησε τρικυμία (άσε το κύμα στο τρίτο θέμα), μέχρι που φίλοι κόντεψαν να ψυχρανθούν.

Ιδού μερικά από τα σχόλια

...Γιατί, συνάδελφοι; Μπορείτε να αποδείξετε οτι για μια στιγμή η Ι δεν είναι όσο λέει ο μαθητής; Αρα είναι σωστό για εκείνη τη στιγμή; Και επομένως το αγων μπορεί να υπολογιστεί τότε. Αλλάζει από σημείο σε σημείο η αγων; Όχι. Είναι σαν να ξέρω οτι μια κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη και να βρίσκω την επιτάχυνση για μια στιγμή, άρα ξέρω την επιτάχυνση συνολικά. Τι θα πει "ρισκάρω"; Είναι σωστό ή όχι; Πρέπει να είναι κι άλλα γραπτά σαν αυτό. Κάποιοι φροντιστές πρέπει να διδάσκουν το πρόβλημα εύρεσης του α σε συτηματα τροχαλίας-σώμα με αυτόν τον τρόπο. Μου φαίνεται απίθανο να σκέφτηκε ο μαθητής μόνος του το συγκεκριμένο τρόπο, πολύ "εξεζητημένος" μου φαίνεται. Έχει το πλεονέκτημα όμως οτι με μια σχέση "καθαρίζεις" το αγων.

Άλλο σχόλιο....

.....(ΑΥΣΤΗΡΑ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΟΝΟ)
Η έννοια της ισοδύναμης ροπής αδράνειας δεν είναι πρωτότυπη, ούτε απαντάται μόνο στην περίπτωση αυτή, απ' ό,τι διαπίστωσα ψάχνοντας στο Google για τον όρο "equivalent moment of inertia". Μια ωραία χρήση της είναι στο πρόβλημα των γραναζιών:http://www.tech.plymouth.ac.uk/sme/desnotes/gears/gearaccel.htm
Φαίνεται οτι οι Μηχανικοί επίσης την χρησιμοποιούν κατά κόρον. ΑΠΛΑ εμείς οι Φυσικοί καθηγητές δεν έχουμε την ανάλογη Εκπαίδευση σχετικά. Και γι'αυτό φιλονικούμε για πράγματα που είναι (μάλλον) ειπωμένα από άλλους, πολύ (ίσως) πριν.

Εφαρμογή της μεθόδου (το θεώρημα της ροπής αδράνειας του/της αγνώστου μαθητή/τριας) σε άλλες δυο περιπτώσεις.

Ένα ακόμη σχόλιο από το ιστολόγιο του κ. Μάργαρη

.....Όταν το πρωτοανακοίνωσε ο άγνωστος μαθητής, μου φάνηκε εντελώς παράδοξο, έλα όμως που έβγαζε σωστό αποτέλεσμα.

Μετά αρκετοί συνάδελφοι δεν ήσαν καθαρά υπέρ ή κατά, ώσπου έρχεται και το σχόλιο για το βιβλίο του Timoshenko (ένα βιβλίο αναφοράς για τη Στατική και τη Μηχανική, που πάνω του ακούμπησαν όλα τα άλλα βιβλία – πανεπιστημιακά, φροντιστηριακά από τη δεκαετία του 70 ακόμα)
Να δούμε ένα αντίστοιχο παράδειγμα από την κλασική μηχανική:
Δυό σώματα με μάζες m και 3m δεμένες μεταξύ τους με σχοινιά βρίσκονται σε οριζόντιο επίπεδο. Μέσω οριζόντιου νήματος, που δένεται στην m, εξασκούμε οριζόντια δύναμη F.
Να βρεθεί η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθούν τα σώματα.
Εκτός από τον αναλυτικό τρόπο με τη δυναμική κάθε σώματος χωριστά, υπάρχει και ο άλλος πιο σύντομος τρόπος
Επιτάχυνση = Συνιστάμενη δύναμη F / την ισοδύναμη μάζα (4m) που κινείται στο τραπέζι.
Κάτι τέτοιο γράφει το παραπάνω βιβλίο, για συγκεκριμένη παρεμφερή άσκηση, που πρέπει κανείς να δει ιδίοις όμασι για να αποφασίσει.
Νομίζω ότι κάπως έτσι πρόκυψε η λύση Timoshenko στον μαθητή, που πιθανόν να μην είναι γενική, να θέλει πολύ προσοχή να εφαρμοστεί, άρα δεν αξίζει να την ξέρουμε, κάτι ίσως παρόμοιο με τα αντίστοιχα θεωρήματα Thevenin και Norton στα κυκλώματα, που μπορούν να δώσουν την ένταση του ρεύματος ή την τάση σε μία αντίσταση, χωρίς να γίνει αναλυτική επίλυση του κυκλώματος.
Προσωπικά πιστεύω, πιό πολύ, ότι ο μαθητής από τύχη έφτασε στη λύση αυτή, και πρέπει να του αναγνωριστεί (τουλάχιστον) η σύμπλευση με τον σπουδαίο Τιμοσένκο.